Question

已知函數(shù)f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（　　）

• A、（1，8）
• B、（4，6）
• C、（8，12）
• D、（16，24）

Answer 1

分析：利用分段函數(shù)的定義作出函數(shù)f（x）的圖象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k則可得a，b，c即為函數(shù)y=f（x）與y=k的交點的橫坐標根據(jù)圖象可得出a，b，c的范圍同時a，b還滿足-log₂^a=log₂^b，即可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

∴當0＜x≤8時f（x）=|log₂^x|則f（x）的圖象即為y=log₂^x在0＜x≤8的圖象且在x軸下方的翻折到x軸上方
  當x＞8時f（x）=-

3

4

x+9圖象為一條射線
故f（x）的圖象如上圖所示．
令f（a）=f（b）=f（c）=k則a，b，c即為函數(shù)y=f（x）與y=k的交點的橫坐標，不妨設a＜b＜c則a，b，c的位置如上圖所示．
∴由圖可知0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12
又∵f（a）=f（b）
∴-log₂^a=log₂^b
∴ab=1
∴abc=（ab）c=c∈（8，12）
故選C

點評：本題考查了利用分段函數(shù)的圖象結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想求方程根的積得取值范圍．求解本題的關鍵由三點：（1）會利用圖象的變換作圖．（2）會將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點的橫坐標并且得出0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12．（3）能分析出f（a）=f（b）則-log₂^a=log₂^b即ab=1．