Question

已知函數(shù)f(x)=cos(x-

2π

3

)-mcosx(m∈R)的圖象經(jīng)過點P(0，-

3

2

)．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為，若f(B)=-

3

2

，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）把點P的坐標(biāo)代入到函數(shù)f（x）的解析式中，即可得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把求出的m代入函數(shù)解析式中，利用兩角差的余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，由ω的值利用三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期即可；
（Ⅱ）把x=B代入函數(shù)f（x）的解析式，利用兩角差得正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后得到sin（B-

π

3

）的值，由B的范圍求出B-

π

3

的范圍，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，把b，c及cosB的值即可得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(0)=-

1

2

-m=-

3

2

，
∴m=1．（2分）
∴f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

3

)．
故函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；（5分）
（Ⅱ）f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，
∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．（7分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1或a=2．（10分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及求法，余弦定理及三角函數(shù)的恒等變形．學(xué)生在第二問求B度數(shù)時注意由B的范圍求出B-

π

3

的范圍．熟練掌握三角函數(shù)的恒等變換公式是解本題的關(guān)鍵．