Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx-x³-ax²-x+1（a∈R）
（1）當a=

1

2

時，求f（x）在（0，1]上的最小值；
（2）若y=f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=

1

2

時，f′（x）=2xlnx-3x²-1，x∈（0，1]，f′（x）＜0，由此能求出f（x）在（0，1]上的最小值．
（2）f′（x）=2xlnx+x-2ax-1，由已知得a＞

2xlnx+x-1

x

=2lnx+1-

1

x

在（0，1]上恒成立，由此利用構造法能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a=

1

2

時，f（x）=x²lnx-x³-

1

2

x²-x+1，
f′（x）=2xlnx-3x²-1，
∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上的最小值為f（1）=-1-

1

2

-1+1=-

3

2

．
（2）f′（x）=2xlnx+x-2ax-1，
∵y=f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴x＞0時，f′（x）=2xlnx+x-2ax-1＜0，
∴a＞

2xlnx+x-1

x

=2lnx+1-

1

x

在（0，1]上恒成立，
設h（x）=2lnx-

1

x

+1，則h′(x)=

2

x

+

1

x2

=

2x+1

x2

，
∴x∈（0，1]時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a＞0．
∴a的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的能力，函數(shù)恒成立時條件的應用能力．