Question

某電路如圖所示，在某段時(shí)間內(nèi)，開(kāi)關(guān)A，B，C，D能接通的概率都是P.

(1)計(jì)算這段時(shí)間內(nèi)電燈不亮的概率f(P)；

(2)f(P)在P∈(0,1)內(nèi)是否存在最大值？若存在請(qǐng)求出，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(1)用A，B，C，D分別表示事件：開(kāi)關(guān)A，B，C，D接通，

則P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P，

設(shè)B、C與D的并聯(lián)電路接通的事件為E.

則P(E)=1-(1-P)(1-P²)=P+P²-P³,                                                 

∴電燈亮的概率P(AE)=P(A)P(E)=P²+P³-P⁴,

從而電燈不亮的概率為f(P)=1-P(AE)=1+P⁴-P³-P².                                  

(2)解法一：f′(P)=4P³-3P²-2P.

當(dāng)0＜P＜1時(shí)，f′(P)=4P［(P)²］＜0,                                  

∴f(P)在(0，1)內(nèi)無(wú)最小值.                                                     

解法二：令f′(P)=4P³-3P²-2P=0,

得P=0或P=,

∵0＜P＜1,又＞1,＜0.

∴f′(P)在(0，1)內(nèi)無(wú)解，從而無(wú)最小值.