Question

設(shè)a、b均為大于1的自然數(shù)，函數(shù)f（x）=ab+asinx，g（x）=cosx+b，若存在實(shí)數(shù)k，使得f（k）=g（k），則ab=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：利用f（m）=g（m），推出

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a），利用三角函數(shù)的有界性，推出a，b的關(guān)系，結(jié)合a，b均為大于1的自然數(shù)，討論a，b的范圍，求出a，b的值即可．

解答： 解：由f（m）=g（m），
即a（b+sinm）=b+cosm，
asinm-cosm=b-ab，

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a）[注：sinθ=

1

a2+1

]，
∵-1≤sin（m-θ）≤1，
∴-

a2+1

≤b，（1-a）≤

a2+1

，
∵a，b均為大于1的自然數(shù)，
∴1-a＜0，b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-

a2+1

，
b（a-1）≤

a2+1

，
b≤

a2+1 (a-1)2

=

1+ 2a (a-1)2

．
∵a≥4時(shí)

2a

(a-1)2

＜1，b＜2，
∴a＜4，
當(dāng)a=2時(shí) b≤

5

，b=2，
當(dāng)a=3時(shí)  b≤

2.5

無解，
綜上：a=2，b=2，
ab=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的有界性，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．