Question

（2008•嘉定區(qū)一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PC與平面ABCD所成角的大小為arctan2，M為PA的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求異面直線BM與PC所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)PA⊥平面ABCD以及PC與平面ABCD所成角的大小為arctan2，求出PA=4；再求出下底面面積即可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）連接BD，交AC于點O，連接MO可得MO∥PC；所以∠BMO（或其補角）為異面直線BM與PC所成的角；然后在△BMO是直角三角形求得∠BMO即可．

解答：（本題滿分（14分），第1小題（6分），第2小題8分）
解：（1）連接AC，因為PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA為PC與平面ABCD所成的角…（2分）
由已知，tan∠PCA=

PA

AC

=2，而AC=2，
所以PA=4．…（3分）
底面積S=2•2•sin600=2

3

，…（4分）
所以，四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

Sh=

1

3

•2

3

•4=

8 3

3

．…（6分）
（2）連接BD，交AC于點O，連接MO，
因為M、O分別為PA、AC的中點，所以MO∥PC，
所以∠BMO（或其補角）為異面直線BM與PC所成的角．…（8分）
在△BMO中，BO=

3

，BM=2

2

，MO=

5

，…（10分）
（以下由余弦定理，或說明△BMO是直角三角形求得）
∠BMO=arcsin

6

4

或arccos

10

4

或arctan

15

5

．…（13分）
所以，異面直線BM與PC所成角的大小為arcsin

6

4

（或另外兩個答案）．…（14分）

點評：本題主要考查棱錐的體積計算以及異面直線及其所成的角．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．