(2008•嘉定區(qū)一模)設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,Sn是an2和an的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500}中,是否存在正整數(shù)m,使得不等式Sn-1005>
a
2
n
2
對一切滿足n>m的正整數(shù)n都成立?若存在,則這樣的正整數(shù)m共有多少個?并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值;若不存在,請說明理由;
(3)請構(gòu)造一個與數(shù)列{Sn}有關(guān)的數(shù)列{un},使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)
存在,并求出這個極限值.
分析:(1)由2Sn=an2+an,知n=1時,a1=1,當(dāng)n≥2時,有2Sn-1=an-12+an-1,2an=an2-an-12+an-an-1,由此能求出{an}的通項公式.
(2)設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m,由
n(n+1)
2
-1005>
n2
2
n
2
>1005
,n>2010,知M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998},所以m=2010,2012,…,2998均滿足條件,由此能求出m的最小值.
(3)設(shè)un=
1
Sn
,由un=
2
n(n+1)
,知u1+u2+…+un=
2
1×2
+
2
2×3
+…+
2
n(n+1)
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=2(1-
1
n+1
)
,由此知
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)
存在,并能求出這個極限值.
解答:解:(1)由題意得,2Sn=an2+an①,
當(dāng)n=1時,2a1=a12+a1,解得a1=1,…(1分)
當(dāng)n≥2時,有2Sn-1=an-12+an-1②,
①式減去②式得,2an=an2-an-12+an-an-1
于是,an2-an-12=an+an-1,(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1,…(2分)
因為an+an-1>0,所以an-an-1=1,
所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,…(3分)
所以{an}的通項公式為an=n(n∈N*).…(4分)
(2)設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m,
n(n+1)
2
-1005>
n2
2
n
2
>1005
,n>2010,…(6分)
又M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998},
所以m=2010,2012,…,2998均滿足條件,
它們組成首項為2010,公差為2的等差數(shù)列.…(8分)
設(shè)共有k個滿足條件的正整數(shù),
則2010+2(k-1)=2998,解得k=495.…(10分)
所以,M中滿足條件的正整數(shù)m存在,
共有495個,m的最小值為2010.…(12分)
(3)設(shè)un=
1
Sn
,即un=
2
n(n+1)
,…(15分),
u1+u2+…+un=
2
1×2
+
2
2×3
+…+
2
n(n+1)

=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=2(1-
1
n+1
)
,
其極限存在,且
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)=
lim
n→∞
[2(1-
1
n+1
)]=2
.…(18分)
注:un=
c
Sn
(c為非零常數(shù)),un=(
1
2
)
c•Sn
n+1
(c為非零常數(shù)),
un=q
c•Sn
n+1
(c為非零常數(shù),0<|q|<1)等都能使
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)
存在.
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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