Question

如圖，在三棱錐P-ABC種，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求證：PC⊥AB
（2）設(shè)點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，證明∠CEB為二面角B-AP-C的平面角，并求其正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用SSS可證得△APC≌△BPC，則由PC⊥AC，可得PC⊥BC，再由線面垂直的判定定理得到PC⊥平面ABC，最后由線面垂直的性質(zhì)（定義）得到PC⊥AB
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及∠ACB=90°，由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，進(jìn)而BC⊥AP，連結(jié)BE，CE，根據(jù)等腰三角形“三線合一”得到BE⊥AP，證得PA⊥平面BEC，進(jìn)而EC⊥AP．可得∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，解Rt△BCE可得答案．

解答：證明：（1）∵AC=BC，AP=BP，PC=PC
∴△APC≌△BPC，
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC
又∵AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．---（4分）
（也可連接點(diǎn)P與AB中點(diǎn)D，通過證明AB⊥平面PCD而得到）
（2）由PC⊥BC，BC⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC
可得BC⊥平面PAC．
又∵AP?平面PAC
∴BC⊥AP，
連結(jié)BE，CE，
∵BP=AB，點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，
∴BE⊥AP．
又∵BC∩BE=B，BC，BE?平面BEC
∴PA⊥平面BEC，
∵EC?平面BEC，
∴EC⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．---（3分）
在Rt△BCE中，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

∴sin∠BEC=

BC

BE

=

6

3

--（3分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，熟練掌握空間線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化及理解二面角的平面角的概念是解答的關(guān)鍵．