Question

f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²．若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t 的取值范圍．

Answer 1

分析：由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x），
又∵函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)
故問題等價(jià)于當(dāng)x屬于[t，t+2]時(shí) 
x+t≥

2

x恒成立?(

2

-1)x-t≤0恒成立，
令g（x）=(

2

-1)x-t，
g（x）_max=g（t+2）≤0
解得t≥

2

．
∴t 的取值范圍t≥

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．