Question

設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1，0＜m＜1，m+n≤1．
（Ⅰ）求證：

a2

m

+

b2

n

≥（a+b）²；
（Ⅱ）對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，求證：（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（1）利用柯西不等式，結(jié)合m+n≤1，可得出結(jié)論；（2）構(gòu)造關(guān)于t的二次函數(shù)，利用函數(shù)的圖象特征，得到函數(shù)值非負(fù)，即得到本題結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a、b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴(m+n)(

a2

m

+

b2

n

)≥(

m× a2 m

+

n× b2 n

)2=（|a|+|b|）²≥（a+b）²，
∴

a2

m

+

b2

n

≥

1

m+n

(a+b)2．
∵m+n≤1，
∴

1

m+n

≥1．
∴

a2

m

+

b2

n

≥（a+b）²；
（Ⅱ）記f（t）=（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n），
∵a、b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴拋物線y=f（t）的圖象開口向上．
 拋物線y=f（t）對(duì)應(yīng)方程根的差別式為：
△=[-2(a+b)]2-4(

a2

m

+

b2

n

)(m+n)
=4[2ab-(

n

m

a2+

m

n

b2)]．
∵

n

m

a2+

m

n

b2≥2

n m a2× m n b2

=2ab．
∴△≤0．
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，拋物線y=f（t）的函數(shù)值非負(fù)，即f（t）≥0，
∴（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了柯西不等式和構(gòu)造法證明不等式，有一定的思維量，屬于中檔題．