Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)F₂到直線l₁：3x+4y=0的距離為$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=4于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P．求證：直線PF₂⊥l．

Answer 1

分析 （I）由右焦點(diǎn)F₂（c，0）直線l₁：3x+4y=0的距離為$\frac{3}{5}$，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得$\frac{|3c|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得c．再利用$e=\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（II）當(dāng)EF⊥x軸時(shí)，由對(duì)稱性可得：直線PF₂⊥l．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．直線AE的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），直線AF的方程為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得線段MN的中點(diǎn)P．直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式可得${k}_{{F}_{2}P}$，只要證明$k•{k}_{{F}_{2}P}$=-1即可．

解答 （I）解：∵右焦點(diǎn)F₂（c，0）直線l₁：3x+4y=0的距離為$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{|3c|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得c=1．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）證明：當(dāng)EF⊥x軸時(shí)，由對(duì)稱性可得：直線PF₂⊥l．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
直線AE的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），令x=4，可得M$（4，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$；
直線AF的方程為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），令x=4，可得N$（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．
可得線段MN的中點(diǎn)P$（4，\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-2）+{y}_{2}（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴${k}_{{F}_{2}P}$=$\frac{\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-2）+{y}_{2}（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}}{4-1}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}{3[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=$\frac{k[\frac{2（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}-\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+4]}{3[\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+4]}$=-$\frac{1}{k}$，
∴$k•{k}_{{F}_{2}P}$=-1，
∴直線PF₂⊥l．
綜上可得：直線PF₂⊥l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．