Question

7．已知函數(shù)f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為1．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若$g（x）=\frac{1}{2}x{\;}^2-mx+\frac{3}{2}$，存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)函數(shù)通過(guò)圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為1．求出a，b，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）由題意轉(zhuǎn)化為存在x₀∈（0，+∞），使得$m≥\frac{1}{2}{x_0}-ln{x_0}+\frac{3}{{2{x_0}}}$成立，設(shè)$h（x）≥\frac{1}{2}x-lnx+\frac{3}{2x}$（x＞0），求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值即可得到結(jié)果．

解答 （本小題滿(mǎn)分15分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=alnx+a，f′（1）=a所以a=1．
因?yàn)閒（1）=0，所以b=0，所以f（x）=xlnx由f′（x）=lnx+1＜0，
得$0＜x＜\frac{1}{e}$f′（x）=lnx+1＞0，得$x＞\frac{1}{e}$，
所以f（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{e}）$上為減函數(shù)，在區(qū)間$（\frac{1}{e}，+∞）$上為增函數(shù)，
所以$x=\frac{1}{e}$時(shí)f（x）取得極小值$-\frac{1}{e}$，無(wú)極大值
（Ⅱ）由題意存在x₀∈（0，+∞），使得${x_0}ln{x_0}≥\frac{1}{2}x_0^2-mx+\frac{3}{2}$成立，
所以存在x₀∈（0，+∞），使得$m≥\frac{1}{2}{x_0}-ln{x_0}+\frac{3}{{2{x_0}}}$成立
設(shè)$h（x）≥\frac{1}{2}x-lnx+\frac{3}{2x}$（x＞0），則$h′（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{3}{2{x}^{2}}=\frac{（x-3）（x+1）}{{2x}^{2}}$
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，3）時(shí)，h′（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，
故h（x）_min=h（3）=2-ln3，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍（2-ln3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．