Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

3

2

，l是過點(diǎn)B（0，b）且斜率為k的直線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若l交C于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且BD，BE，DE成等比數(shù)列，求k²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

3

2

，可得

2c=2 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）直線l的方程為：y=kx+1（k≠0）．與x軸交于E(-

1

k

，0)．聯(lián)立

y=kx+1 x2+4y2=4

，可得D的坐標(biāo)，利用BD，BE，DE成等比數(shù)列，可得BE²=BD•DE．解出即可．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

3

2

，
∴

2c=2 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得c=

3

，a=2，b=1．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）直線l的方程為：y=kx+1（k≠0）．與x軸交于E(-

1

k

，0)．
聯(lián)立

y=kx+1 x2+4y2=4

，解得

x=0 y=1

或

x=- 8k 1+4k2 y= 1-4k2 1+4k2

．
∴D(-

8k

1+4k2

，

1-4k2

1+4k2

)．
∵BD，BE，DE成等比數(shù)列，
∴BE²=BD•DE．
∴

1

k2

+1=

( 8k 1+4k2 )2+( 1-4k2 1+4k2 -1)2

•

(- 8k 1+4k2 + 1 k )2+( 1-4k2 1+4k2 )2

，
化為：k²=

2+ 6

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、兩點(diǎn)之間的距離公式、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．