Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=2-

a

x

（a為實數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=1.5g（x）（其中e=2.71828…）在區(qū)間[0.5，2]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）若u（x）=f（x）+x²+2mx，當(dāng)y=u（x）存在極值時，求m的取值范圍，并證明極值之和小于-3-ln2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=1.5g（x）在區(qū)間[0.5，2]上有解，可得a=2^x-

2

3

x3在區(qū)間[0.5，2]上有解，求出右邊的值域，即可求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）利用韋達定理，結(jié)合根的判別式，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=1時，函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-2，
則φ′（x）=

x-1

x2

，
∴（0，1）上，φ′（x）＜0，（1+∞）上，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）的最小值為0；
（Ⅱ）解：方程e^2f（x）=1.5g（x）在區(qū)間[0.5，2]上有解，可得a=2^x-

2

3

x3在區(qū)間[0.5，2]上有解
令h（x）=2^x-

2

3

x3（x∈[0.5，2]），則h′（x）=2（1-x）（1+x），
∴（0.5，1）上，h′（x）＞0，（1，2）上，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0.5，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∵h（0.5）=

11

12

，h（1）=

4

3

，h（2）=-

4

3

，
∴h（x）∈[-

4

3

，

4

3

]，
∴a∈[-

4

3

，

4

3

]；
（Ⅲ）證明：∵u（x）=f（x）+x²+2mx，
∴u′（x）=

2x2+2mx+1

x

，
由-m＞0且△＞0，可得m＜-

2

，y=u（x）存在極值，
設(shè)y=u（x）的極值點為x₁，x₂，則y=u（x）的極值為u（x₁），u（x₂），
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1

2

，
∴u（x₁）+u（x₂）=-ln2-1-m²＜-3-ln2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．