【題目】直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．

（1）求與滿足的關(guān)系；

（2）求證：點(diǎn)到直線的距離是定值，并求的最小值．

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)A,B聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元化簡:

,然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直即,可求得和滿足的關(guān)系;

(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離表達(dá)式再利用(1)的結(jié)論即可證明距離是定值;利用弦長公式以及韋達(dá)定理表示出弦長表達(dá)式,然后利用換元配方求解最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)A,B,聯(lián)立消得,

∴,

由得

代入化簡可得和滿足的關(guān)系為:;

（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得:,由(1)得

代入可解得為定值;

由直線與雙曲線交點(diǎn)弦弦長公式可得:

,令(t≤3)

化簡可得,

由t≤3可得當(dāng),t=3時(shí).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線：與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明:存在實(shí)數(shù)，使得.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的三邊分別為所對的角分別為，且三邊滿足，已知的外接圓的面積為，設(shè).則的取值范圍為______，函數(shù)的最大值的取值范圍為_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口開始到出口，每遇到一個(gè)岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設(shè)點(diǎn)是其中的一個(gè)交叉路口點(diǎn).

（1）求甲經(jīng)過點(diǎn)的概率；

（2）設(shè)這名游客中恰有名游客都是經(jīng)過點(diǎn)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)作三角形，直角三角形的個(gè)數(shù)為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一次足球邀請賽共安排了支球隊(duì)參加，每支球隊(duì)預(yù)定的比賽場數(shù)分別是，，…，．若任兩支球隊(duì)之間至多安排了一場比賽，則稱是一個(gè)“有效安排”．證明：若是一個(gè)有效安排，且，則可去掉一支球隊(duì)，并重新調(diào)整各隊(duì)之間的對局情況，使也是一個(gè)有效安排．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn)，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點(diǎn)B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若在線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（　�。▍⒖紨�(shù)據(jù)：2.236）

A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若方程（為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個(gè)點(diǎn)，，使得，以為一邊在線段的上方做一個(gè)正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個(gè)圖形（圖1為第1個(gè)圖形）中的所有線段長的和為，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個(gè)命題：

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②數(shù)列是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù) ，都有 ；

④存在最大的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有．

其中真命題的序號(hào)是________________（請寫出所有真命題的序號(hào)）.

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