關于函數(shù)f(x)=lg
x
x2+1
,有下列結(jié)論:①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞);②函數(shù)f(x)是奇函數(shù);③函數(shù)f(x)的最小值為-lg2;④當0<x<1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù);當x>1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù).
其中所有正確結(jié)論的序號是( 。
A、①②③B、①③④
C、①④D、②③
分析:①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),求出定義域驗證;②函數(shù)f(x)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的定義進行判斷;③函數(shù)f(x)的最小值為-lg2,利用基本不等式與對數(shù)的運算性質(zhì)求出最值;④當0<x<1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù);當x>1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù),求出導數(shù),解出單調(diào)區(qū)間,驗證即可.
解答:解:①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),令
x
x2+1
>0,解得x>0,故定義域是(0,+∞),命題正確;
②函數(shù)f(x)是奇函數(shù),由①知,定義域不關于原點對稱,故不是奇函數(shù),命題不正確;
③函數(shù)f(x)的最小值為-lg2,不正確,因為f(x)=lg
x
x2+1
=lg
1
x+
1
x
≤lg
1
2
=-lg2
,最大值是-lg2,故命題不正確;
④當0<x<1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù);當x>1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù),命題正確,因為f′(x)=lg
1-x2
(x2+1)2
,令導數(shù)大于0,可解得0<x<1,令導數(shù)大于0,得x>1,故命題正確.
綜上,①④正確
故選C.
點評:本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點解題的關鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì),且能熟練利用這些性質(zhì)對四個命題作出判斷,本題考查了推理論證的能力以及計算論證的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
)
的圖象為L,下列說法不正確的是( 。
A、圖象L關于直線x=
6
對稱
B、圖象L關于點(
12
,0)
對稱
C、函數(shù)f(x)在(-
π
6
,
π
3
)
上單調(diào)遞增
D、將L先向左平移
π
12
個單位,再將所有點的橫坐標縮短到原來的
1
2
倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sinx的圖象

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=alnx+2x+3(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在x=2處取得極值,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若a=1,設g(x)=f(x)+kx,且不等式g′(x)≥0在X∈(0,2)上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)在(I)的條件下,將函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱得到函數(shù)φ(x)的圖象,再將函數(shù)φ(x)的圖象向右平移3個單位向下平移4個單位得到函數(shù)w(x)的圖象,試確定函數(shù)w(x)的單調(diào)性并根據(jù)單調(diào)性證明ln[2.3.4…(n+1))]2≤n(n+1)(n∈N,n>l).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列說法正確的為
①③④
①③④

①函數(shù)y=f(x)與直線x=l的交點個數(shù)為0或l;
②a∈(
1
4
,+∞)時,函數(shù)y=lg(x2+x+a)的值域為R;
③函數(shù)y=f(2-x)與函數(shù)y=f(x-2)的圖象關于直線x=2對稱;
④若函數(shù)f(x)=ax,則?x1,?x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2
2
;
⑤若函數(shù)f(x)=log
2
x
,則?x1,x2∈(0,+∞),都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•成都二模)對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若滿足對?x1,x2∈D,且x1<x2時都有 f(x1)≥f(x2),則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”.若f(x)為區(qū)間[0,1]上的“非增函數(shù)”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又當x∈[0,
1
4
]
時,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命題:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②當x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,時,f(x1)≠f(x)
?x∈[
1
4
,
3
4
]
時,都有f(x)=
1
2

④函數(shù)f(x)的圖象關于點(
1
2
,
1
2
)
對稱
其中你認為正確的所有命題的序號為
①③④
①③④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二階矩陣M=(
a1
0b
)有特征值λ1=2及對應的一個特征向量
e
1
=
1
1

(Ⅰ)求矩陣M;
(II)若
a
=
2
1
,求M10
a

(2)已知直線l:
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
(t為參數(shù)),曲線C1
x=cosθ
y=sinθ
  (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設l與C1相交于A,B兩點,求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的
1
2
倍,縱坐標壓縮為原來的
3
2
倍,得到曲線C2C,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.
(3)已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(Ⅰ)當m=5時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若關于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范圍.

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