Question

計(jì)算：1²+2²+3²+…+n²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=

(1+1)(2+1)

6

=1，即等式成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

，
即等式成立
根據(jù)①和②可知
等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
故答案為：

n(n+1)(2n+1)

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸法的合理運(yùn)用．