分析 (Ⅰ)由正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知的式子,由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C的大�。�
(Ⅱ)由(I)和內(nèi)角和定理表示出B,并求出A的范圍,代入sinAcosB后,由兩角差的余弦公式、正弦公式化簡后,由A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案.
解答 解:(Ⅰ)由題意知,(2a+b)cosC+ccosB=0,
∴由正弦定理得,(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,
則2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0,
即sin(B+C)=-2sinAcosC,
∵△ABC中,sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0,
∴1=-2cosC,得cosC=−12,
又0<C<π,∴C=\frac{2π}{3};
(Ⅱ)由(I)得C=\frac{2π}{3},則A+B=π-C=\frac{π}{3},
即B=\frac{π}{3}-A,所以0<A<\frac{π}{3},
∴sinAcosB=sinAcos(\frac{π}{3}-A)
=sinA(cos\frac{π}{3}cosA+sin\frac{π}{3}sinA)=sinA(\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA)
=\frac{1}{4}sin2A+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2A}{2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A)+\frac{\sqrt{3}}{2}
=\frac{1}{2}sin(2A-\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}
∵0<A<\frac{π}{3},∴-\frac{π}{3}<2A-\frac{π}{3}<\frac{π}{3},
則-\frac{\sqrt{3}}{2}<sin(2A-\frac{π}{3})<\frac{\sqrt{3}}{2},
即\frac{\sqrt{3}}{4}<\frac{1}{2}sin(2A-\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{4},
∴sinAcosB的取值范圍是(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}).
點評 本題考查正弦定理,兩角和與差的正弦公式、兩角差的余弦公式、內(nèi)角和定理等,以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用,考查轉化思想,整體思想,化簡、變形能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)=\frac{{{x^2}-2x}}{x-2} | B. | f(x)=x-\frac{1}{x} | C. | f(x)=2x-2-x | D. | f(x)=x|sinx| |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{5} | B. | \frac{2}{5} | C. | \frac{3}{5} | D. | \frac{4}{5} |
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