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5.關(guān)于函數(shù)fx=3cos2x+2sinxcosx3sin2x,有如下問題:
x=\frac{π}{12}是f(x)的圖象的一條對稱軸;
?x∈R,f({\frac{π}{3}+x})=-f({\frac{π}{3}-x})
③將f(x)的圖象向右平移\frac{π}{3}個單位,可得到奇函數(shù)的圖象;
④?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≥4.
其中真命題的個數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 利用輔助角公式將函數(shù)f(x)化簡,結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)依次對各項進(jìn)行判斷即可.

解答 解:函數(shù)f(x)=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x
化簡可得:f(x)=\sqrt{3}cos2x+sin2x=2sin(2x+\frac{π}{3}),
對于①:當(dāng)x=\frac{π}{12}時,函數(shù)f(x)取得最大值2,∴x=\frac{π}{12}是其中一條對稱軸.故①對.
對于②:f(x+\frac{π}{3})=2sin(2x+\frac{π}{3}+\frac{2π}{3})=-2sin2x,
-f(\frac{π}{3}-x)=-2sin(-2x+\frac{π}{3}+\frac{2π}{3})=-2sin2x,
?x∈R,f({\frac{π}{3}+x})=-f({\frac{π}{3}-x});故②對.
對于③將f(x)的圖象向右平移\frac{π}{3}個單位,可得2sin[2(x-\frac{π}{3})+\frac{π}{3}]=2sin(2x-\frac{π}{3})不是奇函數(shù),故③不對
④?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≥4.
f(x)=2sin(2x+\frac{π}{3}),當(dāng)x1=\frac{π}{6},{x}_{2}=-\frac{5π}{12}時,|f(x1)-f(x2)|=4,存在x1,x2∈R使得|f(x1)-f(x2)|≥4,故④對.
∴真命題的個數(shù)是3.
故選:C.

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.某民調(diào)機(jī)構(gòu)為了了解民眾是否支持英國脫離歐盟,隨機(jī)抽調(diào)了100名民眾,他們的年齡的頻數(shù)及支持英國脫離歐盟的人數(shù)分布如下表:
年齡段18-24歲25-49歲50-64歲65歲及以上
頻數(shù)35202520
支持脫歐的人數(shù)10101515
(Ⅰ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為以50歲胃分界點對是否支持脫離歐盟的態(tài)度有差異;
年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計
支持“脫歐”人數(shù)
不支持“脫歐”人數(shù)
合計
附:{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(K2≥k00.250.150.100.050.0250.010
K01.3232.0722.7063.8415.0246.635
(Ⅱ)若采用分層抽樣的方式從18-64歲且支持英國脫離歐盟的民眾中選出7人,再從這7人中隨機(jī)選出2人,求這2人至少有1人年齡在18-24歲的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知函數(shù)f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[1,e]的最小值h(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.如圖,在斜三梭柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點O,E是棱AB上一點,且OE∥平面BCC1B1
(1)求證:E是AB中點;
(2)若AC1⊥A1B,求證:AC1⊥BC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知變量x與y的取值如表所示,且2.5<n<m<6.5,則由該數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( �。�
x 2 3 4 5
 y 6.5 m n2.5
A.\stackrel{∧}{y}=0.8x+2.3B.\stackrel{∧}{y}=2x+0.4C.\stackrel{∧}{y}=-1.5x+8D.\stackrel{∧}{y}=-1.6x+10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2a+b)cosC+ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的大�。�
(Ⅱ)求sinAcosB的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知某企業(yè)的近3年的前7個月的月利潤(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:

(1)試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤較高?
(2)通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢;
(3)試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤.
月份x1234
利潤y(單位:百萬元)4466
相關(guān)公式:\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n(\overline{x})^{2}},\widehat{a}=\widehat{y}-\widehatx.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.設(shè)向量\overrightarrow{a}=(2,m),\overrightarrow=(1,-1),若\overrightarrow⊥(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow),則實數(shù)m等于( �。�
A.2B.4C.6D.-3

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8.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+3,a1=0,則數(shù)列{an}的通項公式可以是(  )
A.nB.2nC.3n-3D.3n+3

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