【題目】已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn):求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)或
【解析】
根據(jù)題意求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間,再利用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間即可;
由函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),只需方程在上有一個(gè)根即可,分三種情況,,分別求出時(shí),函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的單調(diào)性求出其值域,進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
(1)由題意可得,當(dāng),時(shí),,
令,即,解得,
當(dāng)時(shí),,所以,
因?yàn)楹瘮?shù) 在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以,
因?yàn)楹瘮?shù) 在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù),
由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反可得,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由題可得,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),
即方程有兩個(gè)不同根,
因?yàn)?/span>為定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,
故方程在上有一個(gè)根即可.
當(dāng)時(shí),則,因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),,
所以在上有一個(gè)根,
由于在上單調(diào)遞減,,
所以,即,
故實(shí)數(shù)的取值范圍為;
當(dāng)時(shí),令,解得,
因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)為上的減函數(shù),
所以,
當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)為上的增函數(shù),
所以,
要使方程在上有一個(gè)根,
只需或,解得或,
故實(shí)數(shù)的取值范圍為或;
當(dāng),時(shí),因?yàn)?/span>,所以,
所以函數(shù),
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>,所以,
即,
故只需,即,
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)在一山坡處看對(duì)面山頂上的一座鐵塔,如圖所示,塔及所在的山崖可視為圖中的豎線,塔高為80米,山高為220米,為200米,圖中所示的山坡可視為直線且點(diǎn)在直線上,與水平地面的夾角為,.
(1)求塔尖到山坡的距離;(精確到米)
(2)問(wèn)此同學(xué)(忽略身高)距離山崖的水平地面多高時(shí),觀看塔的視角最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),其傾斜角為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸為非負(fù)半軸為極軸,與坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線與曲線有公共點(diǎn),求傾斜角的取值范圍;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn),點(diǎn)滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為直線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國(guó)家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.
(1)為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:
現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)某槿〉?/span>10人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;
(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn),該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表:
勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量 | |||
頻數(shù)(年) | 2 | 4 | 4 |
以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.
該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:
勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量 | |||
型游船最多使用量 | 1 | 2 | 3 |
若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元;若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元.記(單位:萬(wàn)元)表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn),的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)越大,問(wèn)該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若在內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為,,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),,其中.
(1)若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),求實(shí)數(shù)和的值;
(2)若,試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明;
(3)設(shè)函數(shù),若對(duì)每一個(gè)不小于3的實(shí)數(shù),都恰有一個(gè)小于3的實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò);
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的圖像在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的極大值;
(3)若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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