Question

【題目】已知定義在的奇函數(shù)滿足：①；②對(duì)任意均有；③對(duì)任意，均有.

（1）求的值；

（2）利用定義法證明在上單調(diào)遞減；

（3）若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0（2）見解析（3）

【解析】

（1）用賦值法令，即可求解；

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，設(shè)，比較大小，做差，利用條件等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)值，或?qū)?/span>按已知等式賦值將函數(shù)值的差轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)值，判斷該函數(shù)值的正負(fù)，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)已知條件求出或，利用函數(shù)的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意,不等式或者恒成立，令，，則，，則不等式等價(jià)于……①或……②對(duì)任意恒成立，，，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)最值的不等量關(guān)系，即可求解.

解：（1）在中，

令；

（2）由題知：對(duì)任意都有，

且對(duì)任意均有

證一：任取，則

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

即即，也即在單調(diào)遞減；

證二：任取，設(shè)，，，，

則，

因?yàn)?/span>，所以，即，

也即在單調(diào)遞減；

（3）在中

令，

令，，

而為奇函數(shù)，故，

又在及上均單調(diào)遞減，

因此原不等式等價(jià)于對(duì)任意，

不等式或者恒成立，

令，，則，

，則不等式等價(jià)于

……①或……②

對(duì)任意恒成立，

法一：令，立，開口向上，

則不等式①；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，由，

即必不存在滿足②.

綜上，.

法二：

令，，

開口向上，對(duì)稱軸為，

且，，，

1°當(dāng)即時(shí)，問題等價(jià)于

或，解得；

2°當(dāng)即時(shí)，

問題等價(jià)于或，

解得；

3°當(dāng)即時(shí)，

問題等價(jià)于或，

解得；

4°當(dāng)即時(shí)，

問題等價(jià)于或，解得；

綜上，