Question

已知函數(shù)，．

（1）若的極大值為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)若函數(shù)f（x）滿足：在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使f（x0+k）= f（x0)+ f（k）(k為常數(shù))，則稱“f（x）關(guān)于k可線性分解”. 設(shè)，若關(guān)于實數(shù)a 可線性分解，求取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用導(dǎo)數(shù)求出極值，令極值為，解方程得b的值，先對求導(dǎo)，利用“為遞增函數(shù)，為遞減函數(shù)”判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷極大值為；第二問，將“對任意，都有恒成立”轉(zhuǎn)化為“”，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值；第三問，先利用已知得到的解析式，代入到已知的f（x0+k）= f（x0)+ f（k）中，得到方程，根據(jù)函數(shù)定義域，得.

（1）由，得，

令，得或． 2分

當(dāng)變化時，及的變化如下表：

	-		+		-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

 

所以的極大值為=，

． 4分

（2）由，得．

，且等號不能同時取，

，即

恒成立，即 6分

令，求導(dǎo)得，，

當(dāng)時，，從而，

在上為增函數(shù)，

，

． 9分

（3）證明：

由已知，存在，使關(guān)于實數(shù)a 可線性分解，則，

即： 10分

， 12分

因為 所以 14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.