Question

已知sin（π-α）=

4

5

，α∈（0，

π

2

）．
（1）求sin2α-cos²

α

2

的值；
（2）求函數(shù)f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由sin（π-α）=

4

5

，可得sinα=

4

5

，由于α∈（0，

π

2

），可得cosα=

3

5

．再利用倍角公式即可得出．
（2）利用兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵sin（π-α）=

4

5

，∴sinα=

4

5

，
∵α∈（0，

π

2

），∴cosα=

3

5

．
∴sin2α-cos²

α

2

=2sinαcosα-

1+cosα

2

=2×

4

5

×

3

5

-

1+ 3 5

2

=

14

25

．
（2）函數(shù)f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

sin(2x-

π

4

)．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

7π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[

3π

8

+kπ，kπ+

7π

8

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．