Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點，兩個焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，過點A的直線L與拋物線C₂：x²=4y交于不同兩點B，C，拋物線C₂在點B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點P．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在滿足（|

PF1

|-|

AF1

|）+（|

PF2

|-|

AF2

|）=0的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個，并求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依題意：

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4.

，由此能求出橢圓C₁的方程．（2）設(shè)直線L的方程為y=k（x-2）+3，由

y=k(x-2)+3 x2=4y

，得由此能求出滿足條件的點P的個數(shù)及其坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依題意：

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4.

解得：

a2=16 b2=12.

∴橢圓C₁的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）顯然直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=k（x-2）+3，
由

y=k(x-2)+3 x2=4y

消去y，得x²-4kx+8k-12=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-12．
由x²=4y，即y=

1

4

x2，得y′=

1

2

x．
∴拋物線C₂在點B處的切線l₁的方程為y-

y

1

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x+y1-

1

2

x

2 1

．…（7分）
∵y1=

1

4

x

2 1

，∴y=

x1

2

x-

1

4

x

2 1

．
同理，得拋物線C₂在點C處的切線l₂的方程為y=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

．
由

y= x1 2 x- 1 4 x 2 1 y= x2 2 x- 1 4 x 2 2

解得

x= x1+x2 2 =2k y= x1x2 4 =2k-3

∴P（2k，2k-3）．…8 分
∵(|

PF1

|-|

AF1

|)+(|

PF2

|-|

AF2

|)=0，
∴點P在橢圓C1：

x2

16

+

y2

12

=1上．∴

(2k)2

16

+

(2k-3)2

12

=1．
化簡得7k²-12k-3=0．…（10分）
由△=12²-4×7×（-3）=228＞0，k=

6± 57

7

，
∴P(

12-2 57

7

，

-2 57 -9

7

)或P(

12+2 57

7

，

2 57 -9

7

)
∴滿足條件的點P有兩個，
坐標(biāo)P(

12-2 57

7

，

-2 57 -9

7

)或P(

12+2 57

7

，

2 57 -9

7

)…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)的個數(shù)的判斷與坐標(biāo)的求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．