Question

已知函數(shù)y=f（x），若對于任意的正數(shù)a，函數(shù)g（x）=f（x+a）-f（x）都是其定義域上的增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）可能是（　�。�

• A、y=2^x
• B、y=log₃（x+3）
• C、y=x³
• D、y=-x²+4x-6

Answer 1

分析：依題意，對A、B、C、D中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)分析判斷即可．

解答：解：對于A，g（x）=2^x+a-2^x=（2^a-1）2^x，
∵a＞0，
∴2^a＞1，2^a-1＞0，
∴g（x）=（2^a-1）2^x是其定義域上的增函數(shù)，即A正確；
對于B，g（x）=log₃（x+a+3）-log₃（x+3），
∵g′（x）=

ln3

x+a+3

-

ln3

x+3

＜0，
∴函數(shù)g（x）=f（x+a）-f（x）在其定義域上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對于C，g（x）=（x+a）³-x³=3ax²+3a²x+a³為開口向上的二次函數(shù)，故在其對稱軸兩側(cè)單調(diào)性不同，故C錯(cuò)誤；
對于D，g（x）=-（x+a）²+4（x+a）-6-（-x²+4x-6）=-2ax-a²+4a，
∵a＞0，
-2a＜0，
∴g（x）=-2ax-a²+4a在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
綜上所述，A正確．
故選：A．

點(diǎn)評：不同考查抽象函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．