Question

14．已知復(fù)數(shù)z₁≠-1，且$\frac{{z}_{1}-1}{{z}_{1}+1}$=bi（b∈R，b≠0），z=$\frac{4}{{（z}_{1}+1）^2}$，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為P．
（1）若點P在第二象限，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求點P所形成的曲線方程．

Answer 1

分析 （1）由已知求得z₁，代入z=$\frac{4}{{（z}_{1}+1）^2}$化簡，然后由實部小于0且虛部大于0求得b的范圍；
（2）由題意得答P所形成曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)得答案．

解答 解：（1）由$\frac{{z}_{1}-1}{{z}_{1}+1}$=bi，得${z}_{1}=\frac{1+bi}{1-bi}$，
∴z=$\frac{4}{{（z}_{1}+1）^2}$=$\frac{4}{（\frac{1+bi}{1-bi}+1）^{2}}=（1-bi）^{2}=1-^{2}-2bi$，
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為P（1-b²，-2b），
∵點P在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-^{2}＜0}\\{-2b＞0}\end{array}\right.$，解得：b＜-1；
（2）設(shè)P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=1-^{2}}\\{y=-2b}\end{array}\right.$，消去b得：y²=-4x+4（y≠0）．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查曲線的參數(shù)方程，是中檔題．