Question

9．設(shè)直線y=2x+k與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)|AB|=3$\sqrt{5}$時，求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積為9時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求|AB|，即可得到結(jié)論；
（2）求出P到AB的距離，利用△PAB的面積為9，建立方程，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由拋物線y²=4x與直線y=2x+b，可得4x²+4（k-1）x+k²=0，
△=16（k-1）²-16k²＞0，
∴k＜$\frac{1}{2}$．
又由韋達(dá)定理有x₁+x₂=1-k，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5（1-2k）}$=3$\sqrt{5}$，
∴k=-4；
（2）設(shè)x軸上點(diǎn)P（x，0），P到AB的距離為d，
則d=$\frac{|2x-0-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2x-4|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△PBA=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{5}$•$\frac{|2x-4|}{\sqrt{5}}$=9，
∴|2x-4|=6，
∴x=5或x=-1，
∴P（5，0）或（-1，0）．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長的計算，考查三角形面積公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．