Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q（-2，3）．
（1）p（A，A+1）在圓上，求線段PQ的長(zhǎng)及直線PQ的斜率．
（2）若M為圓上任意一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件求出P（4，5），由此能求出線段PQ的長(zhǎng)及直線PQ的斜率．
（2）求出圓C：x²+y²-4x-14y+45=0的圓心C，半徑r，再求出|CQ|《|MQ|_max=|CQ|+r，|MQ|_min=|CQ|-r．

解答： 解：（1）∵圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q（-2，3），
p（A，A+1）在圓上，
∴A²+（A+1）²-4A-14（A+1）+45=0，
解得A=4，∴P（4，5），
∴線段PQ的長(zhǎng)|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，
直線PQ的斜率k=

5-3

4+2

=

1

3

．
（2）圓C：x²+y²-4x-14y+45=0的圓心C（2，7），
半徑r=

1

2

16+196-4×45

=2

2

，
|CQ|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
∴|MQ|_max=|CQ|+r=6

2

，|MQ|_min=|CQ|-r=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)及直線斜率的求法，考查線段的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．