Question

已知拋物線y²=x，則過P（1，1）與拋物線有且只有一個交點的直線有（　�。�條．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：易知符合條件的直線存在斜率，設(shè)直線方程為：y-1=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立消掉y得x的方程，按照x²的系數(shù)為0，不為0兩種情況進行討論，其中不為0時令△=0可求．

解答：解：當(dāng)直線不存在斜率時，不符合題意；
當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線方程為：y-1=k（x-1），
由

y-1=k(x-1) y2=x

，k²x²+（2k-1-2k²）x+k²-2k+1=0，
當(dāng)k=0時，方程為：-x+1=0，得x=1，此時只有一個交點（1，1），直線與拋物線相交；
當(dāng)k≠0時，令△=（2k-1-2k²）²-4k²（k²-2k+1）=0，化簡得，4k²-4k+1=0，
解得k=

1

2

，此時直線與拋物線相切，直線方程為：y-1=

1

2

（x-1），即x-2y+1=0；
綜上，滿足條件的直線有兩條：方程為y=1，x-2y+1=0，如右圖所示：
故選B．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．