Question

已知拋物線y²=-x與直線l：y=k（x+1）相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)三角形OAB面積等于

10

時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=k(x+1) y2=-x

，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和數(shù)量積運(yùn)算即可證明

OA

•

OB

=0；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式及三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x+1) y2=-x

，∵k≠0，∴可化為y2+

1

k

y-1=0，∴△＞0．
∴y1+y2=-

1

k

，y₁y₂=-1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(

1

k

y1-1)(

1

k

y2-1)+y₁y₂=(

1

k2

+1)y1y2-

1

k

(y1+y2)+1=-(

1

k2

+1)+

1

k2

+1=0，
∴OA⊥OB．
（2）由（1）可得點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|k|

1+k2

．
|AB|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 k2 )[ 1 k2 -4×(-1)]

=

(1+k2)(1+4k2)

k2

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

(1+k2)(1+4k2)

k2

•

|k|

1+k2

=

1

2

•

1+4k2

|k|

=

10

，
化為36k²=1．
解得k=±

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式及三角形的面積計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算與向量垂直的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．