Question

19．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{lnx+x+m}$，若曲線$y=\frac{1-e}{2}cosx+\frac{1+e}{2}$上存在（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． [0，e²-e+1]
• B． [0，e²+e-1]
• C． [0，e²+e+1]
• D． [0，e²-e-1]

Answer 1

分析 求出y₀的范圍，證明f（y₀）=y₀，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分離參數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出m的范圍．

解答 解：∵-1≤cosx≤1，∴$\frac{1-e}{2}cosx+\frac{1+e}{2}$的最大值為e，最小值為1，∴1≤y₀≤e，
顯然f（x）=$\sqrt{lnx+x+m}$是增函數(shù)，
（1）若f（y₀）＞y₀，則f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，與f（f（y₀））=y₀矛盾；
（2）若f（y₀）＜y₀，則f（f（y₀））＜f（y₀）＜y₀，與f（f（y₀））=y₀矛盾；
∴f（y₀）=y₀，
∴y₀為方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，
由f（x）=x得m=x²-x-lnx，
令g（x）=x²-x-lnx，x∈[1，e]，
則g′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴當(dāng)x∈[1，e]時，g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（1）=0，g_max（x）=g（e）=e²-e-1，
∴0≤m≤e²-e-1．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，屬于中檔題．