Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-2，可得n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-2，∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1．
n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}前n項和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了錯位相減法、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．