Question

11．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）過點P（0，3）作一條與橢圓Γ相交的直線l，設交點為A，B，若點A，B均位于y軸的右側，且$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}$，求x軸上滿足|QP|=|QB|的點Q的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=1，運用橢圓的離心率公式可得a，再由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+3，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出點Q的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+3，k＜0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），
∵$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}$，P（0，3），∴x₂=2x₁，①
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得（4k²+3）x²+24kx+24=0，（*）
∴x₁+x₂=$\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$，②，x₁x₂=$\frac{24}{3+4{k}^{2}}$，③
由①得x₁x₂=$\frac{2}{9}$（x₁+x₂）²，
又由②③得（$\frac{-8k}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴k²=$\frac{9}{4}$，解得k=±$\frac{3}{2}$，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁+x₂=$\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$＞0，
可得k＜0，∴k=-$\frac{3}{2}$，
當k=-$\frac{3}{2}$時，方程（*）化為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，∴B（2，0），A（1，$\frac{3}{2}$），
設Q（m，0），∵|QP|=|QB|，
∴m²+9=（m-2）²，解得m=-$\frac{5}{4}$，
∴Q（-$\frac{5}{4}$，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．