Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），離心率為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，點O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)不與坐標(biāo)軸平行的直線l₁：y=kx+m與橢圓交于A，B兩點，與x軸交于點P，設(shè)線段AB中點為M．
  （i）證明：直線OM的斜率與直線l₁的斜率之積為定值；
  （ii）如圖，當(dāng)m=-k時，過點M作垂直于l₁的直線l₂，交x軸于點Q，求$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（i）將直線y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、斜率公式能證明直線OM的斜率與直線l₁的斜率之積為定值．
（ii）當(dāng)m=-k時，直線l₁：y=k（x-1），P（1，0），從而M（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），直線l₂方程為y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，從而|PQ|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，由此利用弦長公式能求出$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），離心率為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，點O為坐標(biāo)原點，
∴b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
解得a²=4，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{4}^{\;}}$+y²=1．
證明：（Ⅱ）（i）將直線y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{0}=-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
∴M（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
∴${k}_{OM}•{k}_{{l}_{1}}$=$\frac{\frac{m}{1+4{k}^{2}}}{-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}}$•k=-$\frac{1}{4k}•k=-\frac{1}{4}$．
解：（ii）當(dāng)m=-k時，由（i）知直線l₁：y=k（x-1），∴P（1，0），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴M（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），
∴直線l₂方程為y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，
令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，∴Q（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0），
∴|PQ|=|1-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$=$\frac{\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}}{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3-\frac{2}{1+{k}^{2}}}$，
∵k≠0，∴1＜3-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$＜3，
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍是（4，4$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，考查兩線段比值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運用．