Question

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

 

Answer 1

（1），（2）1．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，基本方法為待定系數(shù)法.只需兩個獨立條件確定即可. 由b=1，可解得a=2，故橢圓的方程為，（2）證明橢圓定值問題，實際是以算代征.即需計算出為一個常數(shù)．由于點D在x軸上，所以,即只需計算E，F(xiàn)兩點縱坐標. 由直線AP： 與直線l：x=2的交點得: ,即，同理可得，因此==1。

試題解析：（1）由題意可知，b=1，

又因為，且a2=b2+c2，解得a=2

所以橢圓的方程為 4

（2）由題意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．

設P（x0，y0），由題意可得：﹣2＜x0＜2，

所以直線AP的方程為 6

令，則，即 8

同理：直線BP的方程為，令，則，

即 10

所以

= ..12

而，即4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|為定值1． 14

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系