Question

在特定時段內(nèi)，以點E為中心的5海里以內(nèi)海域被設為警戒水域．點E正南30海里處有一個雷達觀測點A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A南偏東45°且與點A相距20

2

海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A南偏東45°+θ（其中cosθ=

5

26

，0＜θ＜

π

2

）且與點A相距5

13

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/時）；
（2）若該船不改變方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進入警戒水域；若會，試求從C點到進入警戒水域，船還要行駛多長時間，若不會，請說明理由．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）利用余弦定理求出BC，即可求該船的行駛速度；
（2）以A為原點建立平面直角坐標系，求出點E（0，30）到直線BC的距離為d=2

5

＜5所以船會進入警戒水域，求出GC，即可求得結論．

解答： 解：（1）如圖：AB=20

2

，AC=5

13

，∠BAC=θ，cosθ=

5

26

，0＜θ＜

π

2

∴sinθ-

1

26

…（1分）
由余弦定理得BC=5

5

…（4分）
所以船的行駛速度為5

5

÷

2

3

=

15 5

2

（海里/小時）…（5分）
（2）如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，
設點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC與x軸的交點為D．…（6分）
由題設有，x₁=20，y₁=-20，x₂=ACcos∠CAD=15，y₂=-ABsin∠CAD=-10…（8分）
所以過點B，C的直線l的斜率-2，直線l方程為：y=-2x+20，…（9分）
又點E（0，30）到直線BC的距離為d=2

5

＜5
所以船會進入警戒水域．
又設直線BC上點G（x，20-2x）到點E距離為5．…（10分）
則（x-0）²+（20-2x-30）²=25，
∴x=-3或-5…（11分）
由圖形易知G（-3，26），則GC=18

5

…（12分）
所以從C點到進入警戒水域，船還要行駛18

5

÷

15 5

2

=2.4（小時）．…（13分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用．考查學生的運算能力、綜合考慮問題的能力．