Question

已知函數(shù)f（x）=x﹣klnx，常數(shù)k＞0．
（I）若x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，求k的取值范圍；
（III）設(shè)函數(shù)F（x）=，求證：
F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得，
因為x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，f'（1）=0，
∴k=1，
所以
令f'（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（﹣∞，0），
令f'（x）＜0，可得x∈（0，1）
故函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），（﹣∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）解：因為函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，
則g'（x）=2x﹣k（1+lnx）≥0對x∈（1，2）恒成立，
即對x∈（1，2）恒成立        
令，則知對x∈（1，2）恒成立．
所以在x∈（1，2）單調(diào)遞增，
h_min（x）＞h（1）=2
所以k≤2．
（Ⅲ）證明：F（x）==，
F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
因為（）（）=++
＞（2n﹣k）（k+1）+2=2n+2+2nk﹣k²﹣k=2n+2+k（2n﹣k﹣1）＞2n+2．
（k=0，1，2，3…n﹣1）
所以（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2，…，
（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2．
相乘，得：F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
＞（2n+2）ⁿ=2ⁿ（n+1）ⁿ．