Question

已知定圓Q：x²+y²-2x-15=0，動圓M和已知圓內切，且過點P（-1，0），
（1）求圓心M的軌跡及其方程；
（2）試確定m的范圍，使得所求方程的曲線C上有兩個不同的點關于直線l：y=4x+m對稱．

Answer 1

分析：（1）由圓Q：x²+y²-2x-15=0，我們易判斷出圓Q的圓心為（1，0），半徑為4，又由動圓M和已知圓內切，且過點P（-1，0），根據橢圓的定義，易得M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，進而求出圓心M的軌跡及其方程；
（2）若所求方程的曲線C上有兩個不同的點關于直線l：y=4x+m對稱，則P、Q到直線l的距離相等，即線段PQ的中點M在直線l上，不妨另直線PQ與橢圓一定有兩個交點，由一元二次方程根與系數的關系，構造關于m，n的方程組，即可得到滿足條件的m的范圍．

解答：解 （1）已知圓可化為（x-1）²+y²=16，設動圓圓心M（x，y），則|MP|為半徑，又圓M和圓Q內切，即|MP|+|MQ|=4，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中心為原點，故動圓圓心M的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假設具有對稱關系的兩點所在直線l′的方程為y=-

1

4

x+n，代入橢圓方程中有3x2+4(-

1

4

x+n)2-12=0，即13x²-8nx+16n²-48=0．
若要橢圓上關于直線l對稱得不同兩點存在，則需l′與橢圓相交，且兩交點P、Q到直線l的距離相等，即線段PQ的中點M在直線l上，
故△=64n²-4×13×（16n²-48）＞0，∴-

13

2

＜n＜

13

2

．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

8n

13

，y1+y2=-

1

4

(x1+x2)+2n=

24

13

n，∴

12n

13

=4×

4n

13

+m，
故m=-

4n

13

，∴n=-

13m

4

，
∴-

13

2

＜-

13m

4

＜

13

2

，
即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

點評：本題考查的知識點是圓與圓的位置關系及其判定，關于點、直線對稱的圓的方程，其中熟練掌握圓、橢圓的定義及性質是解答本題的關鍵．