已知定圓Q:x2+y2-2x-15=0,動圓M和已知圓內(nèi)切,且過點P(-1,0),
(1)求圓心M的軌跡及其方程;
(2)試確定m的范圍,使得所求方程的曲線C上有兩個不同的點關(guān)于直線l:y=4x+m對稱.
解 (1)已知圓可化為(x-1)2+y2=16,設動圓圓心M(x,y),則|MP|為半徑,又圓M和圓Q內(nèi)切,即|MP|+|MQ|=4,故M的軌跡是以P,Q為焦點的橢圓,且PQ中心為原點,故動圓圓心M的軌跡方程是
x2
4
+
y2
3
=1

(2)假設具有對稱關(guān)系的兩點所在直線l′的方程為y=-
1
4
x+n
,代入橢圓方程中有3x2+4(-
1
4
x+n)2-12=0
,即13x2-8nx+16n2-48=0.
若要橢圓上關(guān)于直線l對稱得不同兩點存在,則需l′與橢圓相交,且兩交點P、Q到直線l的距離相等,即線段PQ的中點M在直線l上,
故△=64n2-4×13×(16n2-48)>0,∴-
13
2
<n<
13
2

設P(x1,y1),Q(x2,y2),
x1+x2=
8n
13
,y1+y2=-
1
4
(x1+x2)+2n=
24
13
n
,∴
12n
13
=4×
4n
13
+m

m=-
4n
13
,∴n=-
13m
4
,
-
13
2
<-
13m
4
13
2
,
-
2
13
13
<m<
2
13
13
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知定圓C:x2+(y-3)2=4,定直線m:x+3y+6=0,過A(-1,0)的一條動直線l與直線相交于N,與圓C相交于P,Q兩點,M是PQ中點.
(Ⅰ)當l與m垂直時,求證:l過圓心C;
(Ⅱ)當|PQ|=2
3
時,求直線l的方程;
(Ⅲ)設t=
AM
AN
,試問t是否為定值,若為定值,請求出t的值;若不為定值,請說明理由.

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3
,則直線l的方程為( �。�

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已知定圓Q:x2+y2-2x-15=0,動圓M和已知圓內(nèi)切,且過點P(-1,0),
(1)求圓心M的軌跡及其方程;
(2)試確定m的范圍,使得所求方程的曲線C上有兩個不同的點關(guān)于直線l:y=4x+m對稱.

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