Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜-1}\\{{x}^{2}+3x，x≥-1}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，利用分類討論的思想解解不等式f（x）＜4即可；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若x＜-1，則由f（x）＜4得（$\frac{1}{2}$）^x＜4得x＞-2，此時(shí)-2＜x＜-1，
當(dāng)x≥-1時(shí)，則由f（x）＜4得x²+3x＜4得-4＜x＜1，此時(shí)-1≤x＜1，
綜上-2＜x＜1，即不等式的解集為（-2，1）
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，
等價(jià)為當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，x²+3x≥mx-2（m∈R）恒成立，
即x²+3x+2≥mx，
則m≤x+$\frac{2}{x}$+3在x∈（0，2]時(shí)成立，
∵x+$\frac{2}{x}$+3≥3+2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴a≤3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解以及不等式恒成立問題，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求最值問題是解決本題的關(guān)鍵．恒成立問題的常用方法．