Question

17．已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，若存在不同的兩項a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{p}$的最小值是$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0．由a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，可得${a}_{2015}{q}^{2}$=a₂₀₁₅（2q+3），解得q=3．存在不同的兩項a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，代入$\sqrt{{a}_{1}^{2}{3}^{p+m-2}}$=$3\sqrt{3}$a₁，解得p+m=5．可得（p，m）的取值為：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．代入驗證即可得出．

解答 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0．
∵a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，∴${a}_{2015}{q}^{2}$=a₂₀₁₅（2q+3），可得q²-2q-3=0，解得q=3．
∵存在不同的兩項a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{3}^{p+m-2}}$=$3\sqrt{3}$a₁，解得p+m=5．
∴（p，m）的取值為：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．
則$\frac{1}{m}+\frac{4}{p}$的最小值是$\frac{1}{2}+\frac{4}{3}$=$\frac{11}{6}$．
故答案為：$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．