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三角形ABC中，三內角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，c=10，且
cosA
cosB
=
b
a
=
4
3
．
（1）求證：三角形ABC是直角三角形；
（2）過AB中點E作直線MN與射線CA，CB分別交于M，N，求|ME|•|NE|的最小值，并求出此時直線MN的方程．
分析：（1）由正弦定理和條件得sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，結合條件得A+B=
π
2
，判斷出三角形的形狀；
（2）先由條件建立坐標系，再求出點A、B、E的坐標，再設∠NMC=θ，利用直角三角形的三角函數求出|ME|•|NE|的表達式，再由正弦函數的最值求出它的最小值，以及對應的θ的值，即求出直線的斜率，再代入點斜式方程化簡．
解答：（1）證明：由正弦定理得，
cosA
cosB
=
sinB
sinA
，
則sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=
π
2
，
又∵
b
a
=
4
3
，∴A≠B，則A+B=
π
2
，C=
π
2
．
∴三角形ABC是直角三角形，
（2）解：以C為原點，CA、CB分別為x軸，y軸建系如圖：

則A（8，0），B（0，6），從而E（4，3）．
設∠NMC=θ，則|EM|=
3
sinθ
，|EN|=
4
cosθ
，
|EM|•|EN|=
12
sinθcosθ
=
24
sin2θ
．
當2θ=90°，θ=45°時，|EM|•|EN|最小值為24．
∴直線MN的斜率是-1，則直線MN方程為y-3=-（x-4），
即直線MN的方程x+y-7=0．
點評：本題正弦定理，三角恒等變換的公式，以及坐標法的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2=BD．BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導三角形內切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網C．
②設△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內切球的半徑．

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科目：高中數學 來源：海南省嘉積中學2009－2010學年高二上學期期末考試數學試卷(文) 題型：044

如圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如圖(2)，三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？并給予證明．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年吉林省吉林一中高二（下）期末數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2=BD．BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

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科目：高中數學 來源：《第2章 推理與證明》2010年單元測試卷（解析版） 題型：解答題

如圖（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2=BD．BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

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