Question

過x軸上動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k₁和k₂，求證：k₁•k₂為定值，并求出定值；
（2）求證：直線PQ恒過定點，并求出定點坐標(biāo)； 
（3）當(dāng)

S△APO

PQ

最小時，求

AQ

•

AP

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）．由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0，由此可知k₁k₂=-4．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，由此可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．
（3）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離 d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由引入手能夠推導(dǎo)出

AQ

•

AP

的值．

解答：解：（1）設(shè)過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a）
由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
則k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）
（3）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離 d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

當(dāng)且僅當(dāng)

4a2+1

=

3

4a2+1

即 a2=

1

2

時取等號設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=2xa+2 y=x1+1

得x²-2ax-1=0，則x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，

AQ

•

AP

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₂+2）
=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4=-（1+4a²）+3a•2a+a²+4=3a²+3=

9

2

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及方程的思想，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．