Question

過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點(diǎn)，設(shè)切線AP、AQ的斜率分別為k₁和k₂．
（Ⅰ）求證：k₁k₂=-4；
（Ⅱ）求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出切線的方程代入拋物線，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0，利用判別式等于0，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）確定切線AP、AQ的方程，從而可得直線PQ的方程，即可得到直線PQ過(guò)定點(diǎn)．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)過(guò)A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a），代入拋物線，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0
∴△=k²-4（ka+1）=k²-4ak-4=0
∴k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，∴k₁k₂=-4
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1），∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
∴直線PQ的方程是y=2ax+2，
∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意設(shè)而不求方法的運(yùn)用．