Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，點(diǎn)（1，0）在函數(shù)f(x)=

1

2

anx2-an+1x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_2n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（1，0）在函數(shù)f（x）上，可以得到關(guān)系式a_n+1=

1

2

a_n，且a₁=

1

2

，在利用求解等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到數(shù)列a_n為等比數(shù)列，將a_n的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂a_2n-1中即可求得b_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（1）=

1

2

a_n-a_n+1=0，解得a_n+1=

1

2

a_n，
∵a1=

1

2

≠0
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

、公比為

1

2

的等比數(shù)列．
所以通項(xiàng)公式an=

1

2n

．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_2n-1=log₂a_2n-1=1-2n
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（-1）+（-3）+（-5）+…+（1-2n）=-n²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解問題，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，平時(shí)多練習(xí)，注意解題步驟，才能夠做到舉一反三，屬于中檔題．