Question

【題目】對(duì)于兩條平行直線、(在下方)和圖象有如下操作:將圖象在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象:再將圖在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；再將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；以此類推…；直到圖象上所有點(diǎn)均在、之間(含、上)操作停止，此時(shí)稱圖象為圖象關(guān)于直線、的“衍生圖形”，線段關(guān)于直線、的“衍生圖形”為折線段.

(1)直線型

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，直線

①令圖象為的函數(shù)圖象，則圖象的解析式為

②令圖像為的函數(shù)圖象，請(qǐng)你畫出和的圖象

③若函數(shù)的圖象與圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在軸的左側(cè)，那么的取值范圍是_______.

④請(qǐng)你觀察圖象并描述其單調(diào)性，直接寫出結(jié)果_______.

⑤請(qǐng)你觀察圖象并判斷其奇偶性，直接寫出結(jié)果_______.

⑥圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)為_______.

⑦任取圖象中橫坐標(biāo)的點(diǎn)，那么在這個(gè)變化范圍中所能取到的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______），最低點(diǎn)坐標(biāo)為（_______，_______）.

⑧若直線與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是_______.

⑨根據(jù)函數(shù)圖象，請(qǐng)你寫出圖象的解析式_______.

(2)曲線型

若圖象為函數(shù)的圖象，

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，直線，

則我們可以很容易得到所對(duì)應(yīng)的解析式為.

①請(qǐng)畫出的圖象，記所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.

②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______，單調(diào)減區(qū)間為_______.

③當(dāng)時(shí)候，函數(shù)的最大值為_______，最小值為_______.

④若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_______.

(3)封閉圖形型

平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線

設(shè)圖象為四邊形,其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,,四邊形關(guān)于直線、的“衍生圖形”為.

①的周長(zhǎng)為_______.

②若直線平分的周長(zhǎng),則_______.

③將沿右上方方向平移個(gè)單位,則平移過(guò)程中所掃過(guò)的面積為_______.

Answer 1

【答案】（1）①；②函數(shù)圖像見(jiàn)解析；③；④的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；⑤偶函數(shù)；

⑥；⑦，；⑧

⑨

（2）①詳圖見(jiàn)解析；②增區(qū)間和，減區(qū)間和

③最大值為12，最小值為0；④

（3）①；②；③

【解析】

通過(guò)對(duì)“衍生圖形”概念的理解，需要先定位兩條平行直線、，隨著平行直線的變化，“衍生圖形”最終也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。

解題過(guò)程中抓住兩個(gè)核心：只要是第奇數(shù)次翻折，那么圖像就要把位于下面的沿著向上翻折；只要是第偶數(shù)次翻折，圖像就把位于上面的向下翻折，解題過(guò)程只要依據(jù)翻折的基本原理，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐步求解即可

首先對(duì)于（1）直線型

兩平行直線為直線，直線

對(duì)①，當(dāng)發(fā)生第一次翻折，的圖像相當(dāng)于把軸下方圖像沿著軸向上翻折，此時(shí)應(yīng)滿足

對(duì)②，圖像如圖所示

對(duì)③，，圖像恒過(guò)，又因與圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在軸的左側(cè)，如圖所示

若只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)滿足

對(duì)④，根據(jù)圖像，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，

對(duì)⑤，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)

對(duì)⑥，圖像對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為：

對(duì)⑦，圖像在上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，最低點(diǎn)的坐標(biāo)為

對(duì)⑧，若直線與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖像可知

則

對(duì)⑨，觀察圖像特點(diǎn)為偶函數(shù)，當(dāng)，，當(dāng)和時(shí)，，則

對(duì)于（2）曲線型

，所對(duì)應(yīng)的解析式為

對(duì)①，圖像如圖所示

對(duì)②，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和

對(duì)③，當(dāng)時(shí)候，函數(shù)的最大值為，最小值為

對(duì)④，④若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于與圖像有四個(gè)交點(diǎn)

如圖所示：

要使兩函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)滿足，解得

（3）封閉型曲線，根據(jù)題意先畫出四邊形的“衍生圖形”，

對(duì)①，的周長(zhǎng)為

對(duì)②，

要使被直線平分周長(zhǎng)，則假設(shè)直線與交點(diǎn)為，與直線交點(diǎn)為，則應(yīng)滿足

直線方程為：，直線方程為：

聯(lián)立直線得，

聯(lián)立直線得，

由得，解得

對(duì)③，如圖所示

平移之后掃過(guò)的面積應(yīng)為