Question

15．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（-1，1）上，且 f（0）=0，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式：f（t-1）＜f（-t）．

Answer 1

分析 （1）由題意將 f（0）=0，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$帶入求解a，b的值可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）直接利用定義證明即可．
（3）利用函數(shù)在在（-1，1）上是增函數(shù)；f（t-1）＜f（-t）轉(zhuǎn)化為t-1＜-t，即可求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（-1，1）上，且 f（0）=0，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
則有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a×0+b}{1+0}=0}\\{\frac{\frac{a}{2}+b}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=0．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．
（2）證明：x在（-1，1）上，任�。�-1＜x₁＜x₂＜1，
則：f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}-\frac{{x}_{1}}{1+{x}_{{1}^{2}}}=\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{2}{x}_{1}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，
又∵-1＜x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）由（2）可知，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴f（t-1）＜f（-t）轉(zhuǎn)化為：t-1＜-t，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，
解得：$0＜t＜\frac{1}{2}$．
所以不等式的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的帶值計算和單調(diào)性的定義證明以及利用單調(diào)性求解不等式的問題．屬于基礎題．