分析 由當(dāng)n=1時,a1=S1=$\frac{1+1}{2}$+1=2,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n,因此an=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n}&{n≥2}\end{array}\right.$,數(shù)列{an}是從第二項起以2位首項,以1為公差的等差數(shù)列,當(dāng)n≥2時,${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,T99=$\frac{1}{{a}_{1}×{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}×{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}×{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{99}×{a}_{100}}$=$\frac{1}{4}$+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$)=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$=$\frac{37}{50}$.
解答 解:由題意可知:當(dāng)n=1時,a1=S1=$\frac{1+1}{2}$+1=2,
當(dāng)n≥2時,Sn-1=$\frac{(n-1)^{2}+(n-1)}{2}$+1,
an=Sn-Sn-1=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{(n-1)^{2}+(n-1)}{2}$=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{{n}^{2}-n}{2}$=n,
當(dāng)n=1時,不成立,
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n}&{n≥2}\end{array}\right.$,
∴數(shù)列{an}是從第二項起以2位首項,以1為公差的等差數(shù)列,
當(dāng)n≥2時,${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前99項和T99=$\frac{1}{{a}_{1}×{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}×{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}×{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{99}×{a}_{100}}$,
=$\frac{1}{2×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$,
=$\frac{1}{4}$+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$),
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$,
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$,
=$\frac{37}{50}$,
故答案為:$\frac{37}{50}$.
點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法,考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和公式,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 明天上午下雨,下午不下雨 | |
B. | 明天下雨的概率為80% | |
C. | 明天有的地方下雨,有的地方不下雨 | |
D. | 明天下雨的時間一共是19.2小時 |
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A. | a<b<c | B. | a<c<b | C. | c<a<b | D. | b<c<a |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 8 | D. | 16 |
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