分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解,構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可
解答 解:解:由3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0得3x+2a(y-2ex)ln$\frac{y}{x}$=0,
即3+2a($\frac{y}{x}$-2e)ln$\frac{y}{x}$=0,
即設(shè)t=$\frac{y}{x}$,則t>0,
則條件等價(jià)為3+2a(t-2e)lnt=0,
即(t-2e)lnt=-$\frac{3}{2a}$有解,
設(shè)g(t)=(t-2e)lnt,
g′(t)=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數(shù),
∵g′(e)=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0,
∴當(dāng)t>e時(shí),g′(t)>0,
當(dāng)0<t<e時(shí),g′(t)<0,
即當(dāng)t=e時(shí),函數(shù)g(t)取得極小值為:g(e)=(e-2e)lne=-e,
即g(t)≥g(e)=-e,
若(t-2e)lnt=-$\frac{3}{2a}$有解,
則-$\frac{3}{2a}$≥-e,即$\frac{3}{2a}$≤e,
則a<0或a≥$\frac{3}{2a}$,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是$({-∞,0})∪[{\frac{3}{2e},+∞})$.
故答案為:$({-∞,0})∪[{\frac{3}{2e},+∞})$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題,根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相交問題,利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)
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A. | $-\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$ | B. | $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$ |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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