Question

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)新定義得到不等式|x²-1|＜3，然后求出x的范圍即可．
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，依據(jù)新定義寫出不等式，利用作差法證明：a²b+ab²比a³+b³接近；
（3）依據(jù)新定義寫出函數(shù)f（x）的解析式，
直接寫出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性，即可．
解答：解：（1）|x²-1|＜3，0≤x²＜4，-2＜x＜2
x∈（-2，2）；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，
有，，
因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174202288679147/SYS201311031742022886791019_DA/4.png">，
所以，
即a²b+ab²比a³+b³接近；
（3），
k∈Z，f（x）是偶函數(shù)，f（x）是周期函數(shù)，
最小正周期T=p，函數(shù)f（x）的最小值為0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，
在區(qū)間單調(diào)遞減，k∈Z．
點(diǎn)評：本題是新定義題目，直線審題是能夠解題的根據(jù)，新定義問題，往往是結(jié)合相關(guān)的知識，利用已有的方法求出所求結(jié)果．注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．